jueves, 20 de junio de 2013

El cero (0), la teoría de los números y algo más… de Visuddha-sattva Das



SRI

NRSIMHADEVA

MULTIPLY


juancas

SRI NRSIMHADEVA - MULTIPLY

Creado por juancas  del 20 de Junio del 2013



El cero (0), la teoría de los números y algo más…

de Visuddha-sattva Das (Notas) el sábado, 20 de noviembre de 2010 a la(s) 18:14


 El cero (0), la teoría de los números y algo más…

   (Recopilación y reflexiones de Visuddha-sattva das) 

   El cero, representado como “0”, es aquel número que representa una cantidad nula. Es un concepto bastante paradójico, pero fundamental para el desarrollo de las matemáticas a través de la historia. En esta nota se explicará sucintamente el origen, la importancia y el uso del cero en diferentes contextos.

El origen del cero como número proviene de la India. No fue una sola persona la que desarrolló este importante concepto del cero, pero se considerará que Brahmagupta, un matemático y astrónomo Indio, fue quien lo utilizo por primera vez tal como lo conocemos actualmente, pues la primera mención clara de este número como concepto matemático, aparece en su trabajo de Astronomía Brahmasphuta Siddhanta en el año 628. En esta obra increíblemente avanzada para la época, el matemático considera además a los números negativos y las reglas algebraicas para operar con ellos. Entre las diferencias en el uso moderno de estos números, Brahmagupta le asignó cero al resultado de cero dividido por este mismo número.

El cero, aunque no de manera clara y en forma matemática, fue utilizado por las civilizaciones precolombinas en Latinoamérica, para el 40 A.C., principalmente por los Mayas, cultura que se extendía desde el sur de México, pasando por Guatemala y llegando hasta Honduras.

Para el año 525 existen pruebas de que el cero fue usado en Roma junto con los numerales romanos, pero como palabra y no como símbolo, para representar el valor nulo o nada. Con el tiempo, para la época de Brahmagupta, el concepto del cero se extendió a China y al mundo islámico.

Los árabes, quienes fueron aumentando los terrenos de sus imperios, asimilaron este concepto cuando llegaron a India. Al cero, que era llamado sunya en India (que significa en sásncrito “nada” o “vacío”, y de allí el concepto sunyavadi y el de otras filosofías acólitas ateístas e imeprsonalistas), lo llamaron sifr (se dice céfer). Fue así, como con la continuidad de sus invasiones, el cero llegó a Europa. Posteriormente, la palabra árabe sifr, derivó primero a la palabra “cero” en la lengua italiana, y posteriormente a la lengua castellana.

Algunos opinan, sin basamento evidencial, que quien inventó el cero fueron realmente los árabes 1000 años antes del nacimiento de Cristo, y que estos fueron los primeros en desarrollar los conceptos numéricos desde el 0 hasta el 9. La verdad es que esta teoría no tiene mayor sustento y en los libros de historia universal, se sitúa definitvamente el invento del cero en la India.

En cuanto al cero como concepto numérico, este es un número entero, que se sitúa entre el -1 y el 1, como frontera enre los números naturales positivos y los números negativos. En la teoría, de conjuntos y en la geometría, el conjunto vacío podría equipararse al cero, aunque dicha comparación no es apropiada porque son dos categorías distintas de entes matemáticos, uno de colecciones o agregados de cosas y otra de entes geométricos o puntos, asociados generalmente con números, donde se suele vincular el cero, porque el cero se considera un número.

Para expresar lo anterior en forma matemáticamente más precisa, el cero (0) es el elemento del conjunto de los números enteros (designado como ), que sigue al —1 y precede al + 1. Algunos matemáticas consideran que el cero pertenece al conjunto d elos números naturales , debido a que estos se pueden definit  como el “conjunto que nos permite contar el número de elementos que contienen los demás conjuntos”, y el conjunto vacio tiene cero elementos. El número cero también se puede representar como cualquier número más su opuesto (o, equivalentemente, menos él mismo), según la fórmula x − x = 0.

En sí, el cero es un valor nulo de una magnitud. Desde el punto de vista matemático, al ser sumado el cero con otro número, actúa como un ente neutro. Si se multiplica con otro número, actúa como un ente absorbente; el resultado siempre será cero. Asimismo, en una división, el cero nunca podrá ser dividido por ningún número. Cualquier división en la cual se utilice el cero, resultará en cero.

El invento del cero, además de permitir, a través del uso de las matemáticas, el desarrollo de la física y otras ciencias exactas, ha sido fundamental para el funcionamiento lógico interno de los computadores. Por eso se dice que los computadores tienen un lenguaje analógico (anlítico y lógico), y la arquitectura de su lenguaje binario se llama así porque está basada en dos únicos números; el cero (0) y el uno (1).  Se dice que el cero es la creación matemática más importante. Y lo curioso es que en realidad, no es nada, sino tan sólo un símbolo operativo sumamente útil para dar coherencia no sólo al cálculo, la teoría de los números y al análisis matemático, sino a muchas ramas de la matemática y la física. Aunque el cero puede decirse que no es “nada”, sin él el avace de la civilización no habría sido nada.

En el 500 d.C. Aryabhata creó en India un sistema numérico que no tenía cero y era un simple sistema posicional. Se usó la palabra sásncrita kha para la posición cero y, posteriormente, el mismo cero adoptaría ese nombre. En ocasiones se usaba un punto en los primeros manuscritos indios para demostrar un espacio vacío en la notación posicional. Pero muchos historiadores objetan la realidad de estas fuentes del cero, al comprobarse que el punto también se usaba para demostrar algo desconocido, lo que usualmente sería una "x" para la Matemática moderna.

El primer registro cierto del uso del cero indio data del año 876 d.C. y es el único en la que hay acuerdo.

El cero fue también conocido por algunas civilizaciones precolombinas, entre ellas los mayas (Sur de México, Guatemala, Belice y Honduras) y los olmecas.

En su obra Almagesto, escrita en el 130 D.C., Ptolomeo ya había usado el valor de “vacío” o de “0” en conjunción del sistema babilónico. Ptolomeo solía usar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos arroneamente decirse que el cero tuvo sus raíces en sus escritos, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número, sino que lo consideraba un signo de puntuación. Este uso no fue extendido y pocos se sumaron a usarlo, para desvanecerse en la Historia.

Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a.C. se observan anotaciones numéricas en su particular forma. Este sistema no se parecía al sistema númerico actual de base 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9 y cuando se pasa a las decenas o unidades de diez, se usa la notación “10”, para las centenas “100” y para los miles “1.000”, siendo importante el uso del punto y de la coma, en el caso de las expresiones decimales, que correspondentes a las fracciones de un número dado, siendo estos los números llamados rácionales o fraccionarios, que contienen a los números naturales y los números enteros (los numeros naturales positivos y negativos).

Los babilonios no utilizaban el sistema número actual de base 10, sino un sistema en base 60. Esta notación no era capaz de distinguir el número 23 del 203 o el 2003. Alrededor del año 400 a.C., los babilonios comenzaron a colocar símbolos de dos cuñas en los lugares dónde en nuestro sistema escribiríamos un cero, lo que en la realidad se leería 2”3 (dos, varios, tres). La ambigüedad no pareció preocupar a los babilonios y las cosas prosiguieron así.

Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones de vacío o cero. En una tabla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al Este de Babilonia, aparece una notación de tres ganchos. Estas tabletas datan de 700 a.C. Otras tablas usan un solo gancho, y en algunos casos, la deformación de éste, asemeja un cero, tal como lo conocemos hoy.

Hacia el siglo VI a.C. tiene lugar en la India el surgimiento del sistema decimal, que es el que actualmente rige en todo el mundo. En ese momento, comenzaron a ser utilizados exclusivamente los numerales del 1 al 9 para, mediante una notación posicional, poder expresar el resto de cantidades.

La idea de utilizar un sistema posicional, en el que valor de un numeral depende de la posición que ocupa con respecto a los demás, se dice que no es original de la India, sino que ya fue empleada por los babilonios, al menos desde el 2000 a.C. No obstante, el sistema empleado por éstos era sexagesimal, y no decimal, aunque la base 60 coexistía con la base 10.

También en China se creó un sistema de numeración decimal y posicional, pero en su caso el principio no era abstracto pues, como en la numeración romana, los órdenes de magnitud se representaban mediante signos específicos.

El sistema posicional requiere de la existencia de un valor nulo o vacío para poder expresar que entre dos numerales no existe un orden de magnitud, siendo éste es el papel que desempeña el número 0. La cantidad 0 fue introducida por los babilonios hacia el siglo IV a.C., mediante un signo que separaba las dos cifras que se encontraban a ambos lados. Por su parte, en la India se adoptó un punto, que más tarde fue sustituido por un pequeño círculo. De allí proviene el uso generalizado del 0 (cero).

La representación del 0 indio pasó a Occidente a través de los árabes, quedando establecida en Europa a partir del siglo XII, gracias a Leonardo de Pisa. A partir de allí, el uso del cero comenzó a expandirse gracias al  uso que le dieron los comerciantes y mercaderes, pudiendo afirmarse que ya en el siglo XVI se había establecido totalmente.
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Representación del 0

   En el transcurso de la historia de la civilización el cero se ha representado en distintas culturas. La cultura maya fue una de las primeras en emplear el cero. En la numeración romana, en cambio, no existe ningún símbolo que represente el 0. Los jónicos, chinos, egipcios y griegos, uaban distintas notaciones del cero. En el antiguo Egipto se utilizó el signo nrf para indicar el cero, tal como se evidencia en el Papiro Boulaq 18, datado en 1700 a.C.

En la numeración armenia y cirílica no existe, en la precolombina se asemeja a un círculo (no del todo cerrado), y en otras civilizaciones antiguas al cero estaba representado simplemente por un espacio entre otros entes gráficos. De todas estas culturas, fue la maya la que mayor elaboro un sistema númerico e incluso el desarrollo del conocimiento astronómico, en cuyos cálculos es indispensable los cálculos en base a sistema numérico dado, capaz de explicar los movimientos orbitales de los cuerpos celestes.

El jeroglífico o signo maya para el cero, aparece en registros del año 36 a. C., y es el primer uso documentado del cero autónomo como se conoce hoy en día. Este signo se parece a un óvalo puntigagudo, como un balón de rugby, con una curva meridional y tres semicurvas superiores que terminan en la primera división central del signo. Lamentablemente en estas notas de Facebook no permiten insertan gráficos para que los lectores puedan tener una idea visual precisa de este “cero” maya.

Se dice que el uso extensivo del cero tal como lo conocemos surgió en la civilización maya y las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, y fue probablemente utilizado antes por la Civilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a.C. en el uso de la numeración Maya, que fue bastante compleja para su época.

Los romanos no tenían ceros; sus números eran letras de su alfabeto en mayúsculas y para las cantidades grandes se empleaban letras de alto valor como M, D, C. Para números con valores iguales o superiores a 4000, se colocaba una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación era por 1000. Esta notación se sigue incluso usando actualmente en algunas notaciones y rótulos publicitarios, especialmente en Italia y otros países latinos.

En conclusión el primer registro en la representación y uso del cero data del año 876 en la India. Los indios lo utilizaron como cifra en el siglo X, pero fueron los árabes quienes lo introdujeron en Europa. El primer matemático importante que hizo uso del signo 0, hacia el año 810 de nuestra era, fue el árabe Muhanmad ibn Musa al-Jwarizmi, cuyos escritos se han consevado. El cero fue introducido en Europa en el siglo XII por el matemático italiano Fibonacci, aunque las autoridades lo encontraron tan sospechoso, que el Gobierno de Florencia prohibió su utilización en 1299.

La palabra “cero” proviene de la traducción de la palabra sánscrita shunya (vacío) al árabe sifr (registro gráfico que no se puede reproducir aquí, al igual que el carácter sánscrito devanagari para shunya osunya), a través del italiano. La voz española “cifra” también tiene su origen en sifr.

El nombre sánscrito del cero, kha, también quiere decir agujero, orificio (del cuerpo: órgano sensorial), vacío, punto, espacio infinito, cielo, aire; particularmente, el cubo de una rueda, el centro inmóvil que hace posible el movimiento de rotación (la rueda misma ilustra bastante el genio chino: “es el vacío que está en el medio lo que permite usar la rueda”, dice Lao Tsé); kha es también fortuna, conocimiento, actividad, y elBrahman mismo (en sus tres aspectos), el motor inmóvil, llamado también ka, el “¿Qué?” (Chandogya Upanishad, IV, 10.5). Por el juego de los sinónimos, el cero es también llamado “cielo” (ambara, vyoman) o “infinito” (ananta): siendo todo número una limitación de lo innumerable.

El cero: un instrumento de poder linguistico maravilloso  

   Invención india, tral vez anónima, al comienzo de nuestra era, este instrumento inmaterial pero represetable que es el cero, y que tiene la propiedad de existir sólo en forma figurada, ha podido desempeñar una función más grande que el de la locomotora o el microscopio en la historia de nuestra civilización,.

Este instrumento genial, que había faltado a la ciencia griega, ayudó mucho a los árabes a convertirse en lo que fue el pueblo sabio de la Edad Media. Los árabes vulgarizaron el cero en África del Norte y en Europa y, a pesar de que el objeto mismo proviene de la India, aún lo designamos con una palabra árabe (sifr).

No hay un día en que no utilicemos ese instrumento hecho de nada, ese signo que nada significa, este pequeño círculo (la escritura árabe lo reduce a un punto) que nosotros llamamos el cero. El uso generalizado de la numeración representa un caso particular del lenguaje, un lenguaje singularmente perfecto y preciso, matematicamene hablando. La invención del cero, correlativa al valor posicional de las cifras, nos permite adivinar cual fue el esfuerzo del genio hindú en todas las artes del lenguaje.

¿Cuál es entonces el poder del cero? Simplemente el de significar el paso a un nuevo orden de grandeza. Cuando he agotado la serie de las cifras (del 1 al 9 en nuestro sistema decimal), se traza un pequeño círculo para significar que esta serie ha terminado y que, sin embargo, las cifras con las mismas figuras que se quieren escribir inmediatamente a la izquierda del pequeño círculo, van a representar lo números de otro orden de grandeza, las decenas; y así sucesivamente. La figura circular que sirve para señalar al cero, significa que es a la vez vacío y pleno: es el vacío resultante del cumplimiento de un ciclo. La serie de las cifras indo-árabes también se escribe del 1 al 0, y no del 1 al 9. Se ha visto así a los sabios de la India investigar en el lenguaje verbal los procedimientos análogos del paso a los grados superiores de significación.

El cero en la Matemática pura

Es bien sabido que el cero se representa en matemáticas con el símbolo “0”. En el conjunto de los enteros el 0 se considera un número par. Tradicionalmente, está considerado uno de los cinco números más importantes de las matemáticas, junto con los números 1, pi, i (la unidad compleja imaginaria) y e e. Estos números quedan relacionados por la llamada identidad de Euler: la suma de la unidad (1) con el número eelevado al producto de pi por el número imaginario i, es igual a cero).

El número e, conocido como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. La constante matemática e es uno de los más importantes números reales, que son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 16, 16/37, 22, 1/3) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como la raíz de 2, en número pi, etc. El número e se relaciona con muchos resultados interesantes. Por ejemplo, la derivada de la finción exponencial e elevado a la x  es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logarimo natural o neperiano.

En la suma, el cero es el elemento neutro, es decir, cualquier número sumado con 0 vuelve a dar a.

En la multiplicación, el cero es el elemento absorbente; el producto de cualquier número multiplicado por 0 da 0.

En la división hay controversias. No es posible la división por cero porque es un resultado indeterminado.

Esta perplejidad aumenta cuando se analiza la división por cero en el contexto de los límites y en el contexto de los números enteros. El problema es que se utiliza la misma palabra, división, para referirse a distintas cosas (aunque en el fondo tengan el mismo origen). Es así como son ciertas las afirmaciones siguientes: “No está definida la división del cero entre el cero (0:0)”, “0/0 es indeterminado” y “0|0 (cero divide a cero)”, pero cada una en su contexto. A continuación exponemos brevemente estos ejemplos.

El cero dividido por otro número

    El 0 dividido por cualquier número, salvo el 0, es 0. Ejemplo: 0 ÷ 8 = 0. Intuitivamente, esto significa que, si se divide nada entre ocho personas, a cada una le corresponderá exactamente nada.

En los números reales (incluso en los complejos, los que tienen una unidad “imaginaria”) la división por cero da un valor indeterminado; así, las expresiones 8 ÷ 0 o 0 ÷ 0 carecen de sentido.

Intuitivamente significa que no tiene sentido dividir 8 entre ninguna persona. Tampoco tiene sentido dividir nada entre nadie. Pero esto es una idea intuitiva, y sólo desde el sentido común se da respuesta a estas cuestiones.

Matemáticamente está claro que el cero es el único número real  por el cual no se puede dividir o que no admite división. La razón es que 0 es el único número real que no tiene inverso multiplicativo. Por ser algo que escapa a los propósitos simplemente divulgativos de esta nota, no hablaré del caso de la división por cero con números enteros.

El cero en la potenciacíon también tiene sus particularidades. Si un número dado es distinto de 0, entonces ese numero elevado a la potencia 0 es igual a 1. Si un número n es distinto de 0, entonces 0  elevado a ese número n es igual a 0. Cuando se pretende calcular 0 ÷ 0 nos enfrentamos ante un aparente dilema. En general, los matemáticos están de acuerdo en que esa operación no está definida. Sin embargo las calculadoras científicas en general y programas de matemática superior lo toman como 1. Como en el caso de la división, al poner esta operación en el contexto de los límites, 0 ÷ 0 es una indeterminación pues los límites de potencias tales que los límites de base y exponente por separado son cero, pueden terminar dando cualquier cosa. En lógica formal se puede probar que 0 ÷ 0 = 1 lo cual se hace observando que existe una única función de vacío en el vacío, la cual es la función vacía.

A algunos matemáticos les resulta conveniente tratar al 0 como a los otros números naturales y a otros no, de allí la discrepancia. Desde el punto de vista histórico, el cero aparece tan tarde que algunos no creen que sea justo llamarlo natural. Incluso hay quienes afirman desde un punto de vista metafísico que el cero no existe, y así agregan más razones para no llamarlo “natural”.

Matemática avanzada

    En otras ramas de la Matemática, especialmente en el álgebra, se llama “cero” y se simboliza también con “0” a elementos de otros conjuntos muy diferentes de los reales. Es el caso del vector nulo en el conjunto de los vectores del plano o del espacio. En general se le dice cero al elemento neutro de un grupo abeliano (que tiene la propiedad conmutativa).

Sistemas digitales y circuitos electrónicos

    El 0 se asocia con la posición de “apagado” en lógica positiva y es uno de los dos dígitos usados en el sistema binario. En los circuitos analógicos y servomecanismos electrónicos, el 0 representa a “apagado” y el 1 a “encendido”.

El cero absoluto

    En el campo de la Física, el cero absoluto es la temperatura más baja que teóricamente puede alcanzar la materia. Esta temperatura da lugar a la escala Kelvin, que establece como 0 K dicha temperatura. Su equivalencia en grados celsius es de –273,15 grados centrigrados.

El cero y la nada

   En el contexto filosófico existen varias disquisiciones respecto al cero y la “nadidad” que representa. En un interesante artículo, Pablo Cappana expresa lo siguiente:

   “Cada cultura tenía un ‘alma’ colectiva, que le permitía acceder a nociones que no se les ocurría pensar a otras, incluyendo cosas tan abstractas como los conceptos matemáticos. Por ejemplo, los griegos no habían podido concebir el número cero porque su ‘sensualidad’ no se lo permitía. Solo el alma de la India había podido llegar a un concepto metafísico como la nada (sunya) y el cero que la simbolizaba. El cero era ’la refinada creación de un maravilloso poder de abstracción, porque aunque el alma india lo había concebido como la base de la numeración posicional, era nada más ni nada menos que la clave del sentido de la existencia’.”
                                            . . . . .
    "Desde la época de los griegos, para calcular se usaban contadores como los que todavía se ven en los jardines de infantes. Eran unas cajas divididas en columnas donde se ponían piedritas, no en vano llamadas «cálculos», como los renales. Cada diez piedras había que pasar a la columna siguiente, como en el ábaco.

    El cero, con su forma redonda, apareció y desapareció una y otra vez en distintos contextos. Puede que su origen fuera la letra “O”, como un sello redondo grabado en la arcilla, o esa huella que quedaba tras una sustracción en una caja de arena de esas que usaban para contar los mercaderes orientales”.
                                            . . . . .
   "Las dificultades se hacían insuperables cuando se llegaba a números realmente grandes, y Arquímedes fue uno de los que se tropezaron con ellas. En su famoso Arenario se propuso calcular cuántos granos de arena cabían en el universo. Como el número más grande que usaban los griegos era la miríada (10.000) tuvo que inventar números de distintos órdenes, es decir miríadas de miríadas de miríadas. Llegó hasta los números de tercer orden, que para nosotros serían un 10 a la 24.

    En el Lalitavistara, una vida de Buda escrita siglos más tarde en la India, el joven Gautama ganaba un certamen de inteligencia y sabiduría al ponerle nombre al número más grande, el tallakchama, que era nada menos que 10 a la 53. De haber existido las potencias de diez (‘¿por qué Arquímedes no se dio cuenta?’, clamaba Gauss) lo de Arquímedes y Buda no hubiera llegado a ser una hazaña”.

Mercaderes y banqueros

    Después de prosperar en la India, el cero volvió a aparecer en Bagdad hacia el año 773, junto con los numerales indios. Llevado por los árabes, pasó a Damasco y a Córdoba, y de la España morisca al resto de Europa.

El importador de los numerales, ahora llamados “arábigos”, fue Leonardo de Pisa, un mercader también llamado “Fibonacci” o «filius Bonacci», que literalmente significa “hijo de un buen tipo”. Teniendo en cuenta la cantidad de hijos de mala madre que andan por ahí, no dejaba de ser un nombre auspicioso para un benefactor de la humanidad.

Fibonacci creó una serie numérica que lo hizo famoso, donde cada dígito es igual a la suma de los dos anteriores: 1,2,3,5,8,13,... Después se descubrió que la serie estaba en todas partes, como patrón de la naturaleza, desde las caracolas llamadas Nautilus, hasta las hojas y pétalos de la rosa. Este es uno de los grandes misterios matemáticos del universo.

Fibonacci presentó por primera vez los numerales arábigos, pero omitió el cero, y tituló su manual Libro del Ábaco, cuando precisamente de acabar con el ábaco se trataba. Pero el cero llegaría pronto, cuando entró en la escena histórica  el árabe Al Khwarizmi, quien en 825 creó el álgebra: Su tratado se llamaba Al Gebar. Su nombre se hizo legendario, y aún perdura en nuestros “algoritmos”.

Los números arábigos y los cálculos que con ellos se hacían llegaron rápidamente a concoerse como “algorismos”. Del cero indio (sunya) salieron zefirum, zeviro y zero pero también sifr, cifra, figura circularis, figura privationis, círculo, que so todas expresiones variantes de “cero” y “cifra”. El Arte de Numerar, un libro inglés de 1300, aseguraba con toda seriedad, la especulación de que este arte “llamado Algorym, fue creado por un rey de la India llamado Algor”.

El sistema arábigo fue necesario porque esos eran tiempos muy poco globalizados, y había serios problemas de cálculo. En un libro de texto de 1489 todavía se encontraban problemas como éste: “Un hombre quiere cambiar por libras vienesas treinta peniques de Nuremberg. Como el cambista no conoce la equivalencia, consulta a la Casa de Moneda, donde le informan que 7 de Viena son 9 de Linz, 8 de Linz valen una libra de Passau y 12 de Passau son 13 de Vilshofen, y 15 de Vilshofen son 10 de Regensburg, y 8 de Regensburg son 18 Neumarkt y cinco Neumarkt valen 4 peniques de Nuremberg. ¿Cuántos peniques vieneses le tocarán?”  ¡Realizar esas conversiones no era nada práctico ni fácilmente rápido!  

El resto, es historia. Después vinieron los números negativos, los logaritmos, Descartes, Fermat, Newton, Euler, y los grandes matemáticos que revolucionaron la ciencia moderna. Pero el cero ha permanecido incólume en su propio pedestal.

En un sentido absoluto 1 + 1 = 1 y 1 – 1 no es igual a 0. Esto es acintya, filosofía inconcebible para la inteligencia ordinaria del cerebro humano de los cientificos, porque en el plano absoluto, como expresa elSri Isopanisad, el Todo completo sigue siendo el Todo cuando se le trata de reducir su contenido. El pensamiento védantico también confirma esta sentencia.

Sin el cero, no existiría la ciencia moderna ni la tecnología. Tampoco hubiéramos tenido ni El Cero y el Infinito de Koestler ni El Ser y la Nada de Sartre. No existiría el nihilismo, de que tanto hablan nuestros filósofos —como expresa el referido autor argentino Pablo Cappana— “para enmudecer cuando el nihilismo golpea su confortable mundo”.

La segunda parte del pranama-mantra de Srila Prabhupada, contiene la crítica cosntructiva contra estas y otras tendencias nihilistas e impersonalistas del materialismo cientifico, las cuales han proliferado negativamente con el avance de Kali-yuga, lo cual es preciso combatir con nuestro paradigma teísta bhaktivedanta:

                  namas te sarasvate deve gaura‑vani‑pracarine
                     nirvisesa ‑sunyavadi‑pascatya‑desa‑tarine

  “Te ofrecemos nuestras respetuosas reverencias, ¡Oh, maestro espiritual, sirviente de Srila Bhaktisiddhanta Sarasvati! Bondadosamente estás predicando el mensaje del Señor Chaitanya y liberando a los paises occidentales, que están llenos de impersonalismo y nihilismo [sunyavadi]”.



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Shri Ramacandra kripalu bhaju, mana, harana bhava bhaya darunam;
navakanja-locana kanja-mukha, kara-kanja pada-kanjarunam. …1
Kandarpa aganita amita chavi, navalina niraj sundaram;
patapita manahu tarita ruchi suchi, naumi Janaka-sutavaram. …2
Bhaju Dinabhandu Dinesha danava-daitya-vansha nikandanam;
Raghunanda anandakanda, Kaushalacanda Dasharatha-nandanam. …3
Sira mukuta kundala tilaka caru, udaru anga vibhushanam;
ajanu bhuja sharacapa dhara, sangrama-jita Khara-Dhushanam. …4
Iti vadati Tulasidasa Shakara, Shesha munimana ranjanam;
mama hridaya-kanja nivasa kuru, kamadi khaladala ganjanam. …5
Shri Ramacandra kripalu bhaju, mana, harana bhava bhaya darunam;
navakanja-locana kanja-mukha, kara-kanja pada-kanjarunam.
 — con Riya Roy,Payal Dutta, Bishal Roy, Pinky Ghosh, Arup Biswas, Sohagi Akter, Payel Saha,Moumita Panja, Trisha Banerjee, Trisha Roy, Salma Akter Sonya, Anita Rani, Partha Roy, Payel Biswas, Riya Banerjee, Ankita Roy, Rohini Saxena, Mithu Das, Poulami Saha, Arpita Paul, Tanisha Roy, Jayasri Sasmal, Triparna Chakraborty, Moumita Khalid, Ankita Roy, Amrita Sarkar, Rita Auddya, Ishita Talukdar, Moumita Sharma,Shreya Ghosh, Moumita Karan, Poulami Maity, Rakhi Sen, Nang Tadee, Moumita Malhotra, Moumita Bajpai, Moumita Majoomdar, Moumita Kapoor, Pompi Roy,Moumita Chopra, Moumita Kapoor y Moumita Agarwal.




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nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
tu hi raas rachaiyya tu hi hai gopala
tu hi murliwala tu hi giridhaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
tu hi raas rachaiyya tu hi hai gopala
tu hi murliwala tu hi giridhaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
shaam varn pitaambar dhaari
gal vaijyantimala
shaam varn pitaambar dhaari
gal vaijyantimala
kunj galan mein bansi bajaye
gowardhan gopala
mormukut ki shobha nyaari
kitni sundar chhabi tumhari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
tu hi raas rachaiyya tu hi hai gopala
tu hi murliwala tu hi giridhaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
bas gayi tere saanwli surat bhakt janon ke mann mein
bas gayi tere saanwli surat bhakt janon ke mann mein
hamne chaaron dhaam hai paaye tere hi charnon mein
pooje tujhako duniya saari jai gopala jai banwaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
tu hi raas rachaiyya tu hi hai gopala
tu hi murliwala tu hi giridhaari
nandlala krishna murari tere charnon pe balhaari
 — con Antima Sarkar, Moumita Lekha, Preety Ganguly, Mou Bannergi, Moumita Bajaj, Jyoti Rathore, Prito Barar,Surabhi Raj Kumari, Sneha Biswas, Moumita Malhotra, Moumita Bajpai, Moumita Bedi,Priya Sharma, Mohsina Rukhsar, Monika Sharma, Moumita Agarwal, Sunidhi Sanyal,Moumita Majoomdar, Moumita Guha, Moumita Majumdar, Moumita Kaur, Moumita Knighrider, Alka Choudhary, Moumita Kapoor y Sunidhi Chauhan.




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--FEMALE--
O paalanhaare, nirgun aur nyaare - 2
Tumre bin hamra kaunon naahin
Humri uljhan suljhaao bhagwan
Tumre bin hamra kaunon naahin
Tumhe humka ho sambhaale
Tumhe hamre rakhwaale
Tumre bin hamra kaunon naahin

--CHORUS--
Tumre bin hamra kaunon naahin

--FEMALE--
Tumre bin hamra kaunon naahin

Chanda mein tumhe to bhare ho chaandni
Sooraj mein ujaala tumhe se
Yeh gagan hai magan, tumhe to diye ho isse taare
Bhagwan, yeh jeevan tumhe na sanwaaroge
To kya koi sanwaare
O paalanhaare, nirgun aur nyaare
Tumre bin hamra kaunon naahin - 2

--MALE--
Jo suno to kahe Prabhuji hamri hai binti
Dukhi jan ko dheeraj do
Haare nahin voh kabhi dukh se
Tum nirbal ko raksha do
Reh paaye nirbal sukh se
Bhakti ko shakti do

--CHORUS--
Bhakti ko shakti do

--MALE--
Jag ke jo swami ho, itni to araj suno
Hai path mein andhiyaare
Dedo vardaan mein ujiyaare

--CHORUS--
(O paalanhaare, nirgun aur nyaare
Tumre bin hamra kaunon naahin
Humri uljhan suljhaao bhagwan
Tumre bin hamra kaunon naahin) - 3
 — con Priyanka Chowla.




ओ पालन हारे निर्गुण और न्यारे तुम्हरे बिन हमरा कोई नहीं
हमरी ये उलझन सुलझाओ मोहन तुम्हरे बिन हमरा कोई नहीं.

..•♥•.⋰•श्री कृष्णः शरणम् मम्: '...•♥•.

Krishnamvandejadgurum — con Sayok Das, Moumita Rampal, Subrata Bandopadhyay, Sougata Roy Chowdhury, Ruchi Sharma, Moumita Kapoor, Khushi Kashyap, Moumita Thakur, Angel Baishaki, Kasturi Bandopadhyay, Debabrata Shome, Shipra Bansal, Paromita Ghosh, Vasant Mangrolia, Sukhad Munde, Athul Kumar, Jayanta Ray, Prangopal Bandopadhyay, Bapu Flute, Mautusi Choudhury,Debasish Dass y Moumita Kapoor.




Hare Krishna Krishnamvandejadgurum




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Dariya mein deep stambh tum
Andhkar mein jyoti tum
Nirash mann ki asha tum (2)
Bhatke ko raah dikhao tum
Dhup mein sans ki aas tum
Gyan ki bhujao pyas tum
Jai hanuman gyan gun sagar
Jai kapis tihu lok ujjagar(2)
Ghor andhera dur savera kal chakra ka kaisa phera(2)
Din hin ko aasra tera(2)
Sankatmochan tu mera
Moksha marg tu hi mera
Jai hanuman gyan gun sagar
Jai kapis tihu lok ujjagar(2)
Dariya mein deep stambh tum
Andhkar mein jyoti tum
Nirash mann ki asha tum (2)
Bhatke ko raah dikhao tum
Dhup mein sans ki aas tum
Gyan ki bhujao pyas tum




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Krishna Kanha Muralidhara Mohana
Jaya Muralidhara Mohana

Giridhari Kamalanayana Kumudavadana
Kamalanayana Krishna
Kamalanayana Kumudavadana (X)

Bhaja Govinda Gopala Radha Ramana Hari
Krishna Kanha......

Guruji Guruji Aur Jeene Ko Kya Chahiye
Saare Sansaar Ka Pyaar Maine Tujhi Se Paya
Krishna Kanha.......
 — con Dolon Roy, Riyanka Adhikary, Harshita Singh Rajpot,Rani Roy Das, Anusree Banerjee, Khaneefa Hann, Naina Dobrial, Prasadkumar Puthanveed, Anjali Sirsawa, Neha Sharma, Fahim Sham, Rishi Kumawat, Manoj Choudhary, Dustu Bondhu Riya, Reemi Dutta, Komal Rajawat, Anamika Chopra,Mandira Biswas, Bapi Das, Susmita Mukherjee, Disha Sharma, Rani Mosalpuria, Reet Kanwar, Allay Bintang Timur, Neha Shah, Mona Haldar, Rita Das, Manali Roy, Simren Meena, Sonya Khan y Tina Sharma.




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Radhika Manohara Madana Gopala
Deena Vatsala Hey Radhe Gopala

Bhakta Janamandara Venu Gopala
Muralidhara Hari Gana Vilola
Gaan Vilola Krishna Gaan Vilola
Radhika Manohara.....

Shyam Sundar Madan Mohan
Vrindavan Chandra Hari
Vrindavana Chandra Hari Radhe Govinda Hari

Radhe Radhe Govinda
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