lunes, 28 de abril de 2014

El misterioso número π (pi)

SRI

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28 de abril de 2014 a las 0:03

El misterioso número π (pi)

de Visuddha-sattva Das (Notas)
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El misterioso número π (pi)

28 de abril de 2014 a las 0:03

El misterioso número π (pi)

_____Recopilación de Visuddha-sattva das (Bhaktivedanta Institute)

(Ver las imágenes que acompañan la nota)

Todo el mundo, aún sin ser un especialista en Matemáticas, ha oído hablar del número representado por la decimosexta letra griega π (pi). Los estudiantes de la escuela secundaria deben conocer este número, el cual interviene en diversas operaciones matemáticas, las cuales son consideradas en los cursos universitarios de ciencias e ingeniería.

El número π representa un patrón de la naturaleza y es una de las constantes matemáticas más importantes. Su valor surge al considerar una relación particular en la geometría euclídea. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclídeas (donde no se cumple el postulado de las paralelas).

¿Cómo se obtiene ese valor y por qué tiene tanta importancia? En esta breve nota se dará una clara explicación sobre ese aparentemente misterioso número π, símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.

Se llama π (pi) a la relación geométrica entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. No importa cuál sea la longitud, cuando se divide por el diámetro de esa circunferencia siempre resulta el mismo valor constante. Es decir que, por definición π es la constante que relaciona el perímetro o longitud L de un círculo con la amplitud de su diámetro (D2r, siendo r el radio del círculo): π = L/D, de donde L = 2 πr.

El valor numérico de π, reducido a sus primeras cifras, es aproximadamente el siguiente: π ≍ 3,14159265358979323846…

El valor de π se ha obtenido a lo largo de la historia con diversas aproximaciones (porque es físicamente imposible tener medidas exactas de L y D), siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el númeroe (también conocido como número de Euler o constante de Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. El valor de π se ha calculado hasta con 16.000 dígitos decimales.

El gran genio matemático indio Srinivasa Ramanujan, un joven autodidacta empleado de la oficina contable del puerto de Madras, quien solo tenía 25 años cuando descubrió sorprendentes fórmulas y ecuaciones matemáticas, dio cuando era niño una aproximación de π con varias decenas de dígitos decimales, como un juego infantil con sus amigos. Retomaría luego ese cálculo utilizando series infinitas, descubriendo entre otras cosas la llamada “Serie de Ramanujan”, que utiliza factoriales multiplicativos. El descubrió esto de manera accidental al estudias las funciones modulares.

Cuando el matemático inglés Hardy supo sobre este prodigioso joven por los trabajos que le había enviado, lo llamó de inmediato a Cambridge admirando su intuición mágica con los números. Trabajaron juntos desde 1914 a 1919, año en que debido a una grave enfermedad Ramanujan regresó a la India, muriendo al año siguiente. Sobre este genio de las matemáticas hablaré algo más al final de estas reflexiones sobre el número π, sobre cuyo valor existen varias aproximaciones numéricas.

Una aproximación numérica es una representación inexacta que sin embargo es suficientemente fiel como para ser útil. Como π no es un número exacto, ya que tiene infinitas cifras decimales, matemáticamente hablando, π es un número irracional, muy usado en matemáticas, física e ingeniería. Al conjunto de los números irracionales pertenecen ciertos números, como los números decimales infinitos puros (aquellos que no pueden transformarse en una fracción racional), las raíces inexactas, el número π, etc. Se llaman “irracionales” al conjunto de números decimales infinitos no periódicos, para no confundirlos con los números racionales, que son números decimales finitos, infinitos periódicos (donde se repite una secuencia de números en la cifra total), e infinitos semiperiódicos, pudiendo todos ellos transformarse en una fracción

Hecha esta pertinente aclaratoria, podrá entenderse mejor la naturaleza matemática del número π (pi). En la comprensión de este número en la evolución histórica, se insinuó en la antigüedad que todos los círculos conservaban una estrecha correspondencia entre su contorno (longitud o perímetro y su radio. Pero fue en el siglo XVII cuando a esa correlación se le dio un valor numérico, dígito identificado con el nombre “pi”, depheripheria, que los griegos denominaban al perímetro del círculo.

La notación de π fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada en 1748 por el matemático Leonard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal”. Anteriormente fue conocido como “constante de Ludoph” (en honor al matemático Ludolph van Ceulen), o como “constante de Arquímedes” (que es distante al número de Arquímedes).

En sus Elementos Euclides dice que el área de los círculos es proporcional al cuadrado de sus radios, o dicho de otra forma, si dividimos el área de cualquier círculo entre el cuadro de su radio, siempre se obtendrá el mismo número. Pero, ¿cuál es ese número? Un siglo más tarde, Arquímedes demostró, en forma bastante ingeniosa que ese número es π. ¿Cómo lo hizo?

Arquímedes reunió y amplió los resultados del pasado y probó que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285. Desde entonces sabemos que el valor del área del círculo es igual a su radio al cuadrado Ac = π x R2. Arquímedes planteo esto de otra forma: “El área de un círculo es igual al área de un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es el radio, y otro la longitud de la circunferencia”. Veamos esto en sus fórmulas. Si el área del triángulo es igual al área del círculo, entonces (l x r)/2 = (2π x r x r)/2 = πr(al cuadrado).

Arquímedes también descubrió la espiral que lleva su nombre. El número π es la clave para calcular los volúmenes y áreas laterales del cilindro y del cono, y fue Arquímedes quien supo cómo usarla, y también para calcular el área y volumen de la esfera, lo cual no fue tan fácil. Arquímedes demostró que el área de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo (= 4 x πr2), y que su volumen es cuatro veces el volumen del cono que tiene por base el círculo máximo y por altura el radio de la misma, = 4 x 1/3 πr(al cuadrado) x r = 4 /3 πr(al cubo). Además, introduciendo una esfera en un cilindro de igual radio, descubrió la relación entre las áreas y los volúmenes de ambas figuras geométricas. Su razonamiento fue el siguiente: “Cualquier cilindro que tenga como base el círculo máximo de una esfera y la misma altura que la esfera, tiene por volumen una vez y media el de la esfera, y su superficie, incluyendo sus bases, es también una vez y media la superficie o área de la esfera”. Traducido al lenguaje matemático actual esto significa que el volumen de la esfera es 4 /3 πr(al cubo) y su área 4π x r(al cuadrado). Arquímedes se sintió tan orgulloso de esta relación que pidió que en su tumba se grabara una figura de una esfera dentro de un cilindro.

¿Por qué es tan importante conocer el valor de π? En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor de π como 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166... En la Biblia aparece una referencia inexacta del valor de π igual a 3, cuando en el “Libro de los Reyes” (7.23) se mencionan los utensilios que Salomón mandó a construir para su templo (900 a.C). En Babylonia se descubrió en 1.700 a.C. una más aceptable aproximación asignándole un valor de 5/8 = 3,125. En 1650 a.C. se dio otra aproximación de π en Egipto, como 16/92 = 3,16, según consta en el papiro del Rhin.

Fue Arquímedes quien realizó el primer cálculo teórico de π, trazando pacientemente un hexágono regular inscrito y otro circunscrito a una circunferencia de diámetro D, es decir por dentro y por fuera, tangencialmente. Obviamente, el perímetro del hexágono interior es menor que el perímetro de la circunferencia, y el del exterior mayor. Dividiendo los perímetros entre el diámetro obtendremos una cota inferior y una cota superior de π, es decir: Pint/D < π < Pext/D. Al duplicar el número de lados del polígono regular se obtendrá una mejor aproximación. Este fue el proceso que hizo Arquímedes, hasta llegar a un polígono de 96 lados, con lo cual demostró que el valor de π están comprendido entre 22/7 y 223/71, o sea; 22/7 > π > 223/71, es decir, 3,1429 > π > 3,1408. Eso dio origen a la búsqueda más precisa de aproximaciones psoteriores.

Fue Ptolomeo quien en el siglo II d.C. obtuvo el valor que fue aceptado por cientos de años en todas las escuelas, dándole a π el resultado de 3,1416. En el siglo V el chino Chung-chih da un valor de siete cifras; 3.141592. En el siglo XVI el francés Viéte lo calculó con 10 cifras decimales, utilizando polígonos regulares de 393 mil 216 lados. Van Geulen dedicó más de la mitad de su vida al cálculo del valor de π, trabajando con polígonos de billones de lados. Su obsesión fue tal que hizo grabar en su epitafio los 35 dígitos del valor que calculó como 3,1415926535897932384626433832795028

Esa tortura de aproximación con polígonos con millones de lados se eliminó con la aparición de las series infinitas, aunque los cálculos para obtener buenas aproximaciones de π siguieron siendo complicados. El producto de Walis da un valor de π/2 y Leibnitz da un valor de π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 … cuya expresión genérica es dada por una fórmula que no se puede insertar aquí, como tampoco imágenes.

Utilizando series de convergencia cada vez más rápida, el inglés Abraham Sharp obtuvo 71 cifras de π en el siglo XVIII. En 1824 Dase obtuvo 200 cifras y en 1863 Richer consiguió 500 cifras. Uno de los casos más curiosos fue el del matemático inglés William Shank, quien luego de un trabajo de casi veinte años, en 1853 obtuvo 707 decimales del valor depi, aunque nunca llegó a saber que incurrió en un error en el decimal 528, estando todos malos a partir de éste. Eso se descubrió en 1945, el año en que yo nací en Barcelona, España.

Con el desarrollado las matemáticas y sus ramas (Álgebra, Cálculo, Topología, etc., han surgido distintos artificios que permiten afinar cada vez más el valor de π. En 1949, con el mítico computador ENIAC, Von Neuman obtuvo 2.037 dígitos de aproximación, en sólo 70 horas. En 1958 se obtuvieron las 10.000 primeras cifras y en 1961, usando un computador IBM 7090, las 100.000 primeras, en menos de 9 horas. En 1967 se dieron 500.000 decimales. En 1973 se superó el millón de cifras, los diez millones en 1985, y en 1987 se obtuvo una cifra con 100.000.000 decimales para π, hasta que en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de π de 3,14… y se le agregan 4.294.960.000 de decimales. Se dice que se ha llegado a los 50 mil millones de dígitos despues de la coma. Las bromas del infinito son otra historia…

El número π es tan importante porque no se puede eludir que acompañe a cualquier figura o cuerpo redondo. Esto tiene implicaciones en la Geofísica, la Astronomía, la Ingeniería mecánica, o el material necesario para la construcción de un oleoducto, la capacidad de los depósitos de combustible, y muchos otros casos de la industria y las aplicaciones prácticas de la ciencia y la tecnología, así como en el cálculo de las distancias geográficas para la programación de las rutas aéreas y los viajes espaciales, debido a que π también está presente en el cálculo de las órbitas planetarias. También se utiliza en Estadística, porque en los muestreos complejos de variables globales aparece la “campana de Gauss” que es una curva cuya área es la raíz cuadrada de π.

En el cálculo de la órbita del Sol descrita en el Quinto Canto del Srimad-Bhagavatam Purana (donde la cosmología védica ilustra que el carruaje del Sol circula por una pista 10.000 joyanas por encima de la montaña Manosotara situada en el Bhu-mandala), hay una peculiaridad matemática para establecer el valor exacto de esa órbita “circular” en relación con π, debido a que no se pueden aplicar exactamente las ecuaciones de la velocidad angular utilizadas en la Física convencional. Estos y otros detalles fueron explicados en nuestra tesis/propuesta sobre el “Chandelier Model”, presentada en el 2009 en la ciudad de Mayapur, West Bengala, India, como modelo viable de un planetario védico para la cúpula central del magnífico proyecto de ISKCON que se está construyendo en esa ciudad.

Aunque esa propuesta y la muestra computarizada en 3D fue aprobada por el GBC de ISKCON, debido a que ese trabajo conjunto todavía es confidencial, no puede ser revelado hasta que sea inaugurado dentro de unos años el Temple of Vedic Planetarium (ToVP). En la construcción de sus tres inmensas cúpulas también ha intervenido el valor de π.

El extraño y sorprendente número π también interviene en muchos otros aspectos aritméticos. Si consideramos los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, … y sus cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Si tomamos sus inversos obtendremos fracciones cada vez más pequeñas 1/1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, … Si se suman estas fracciones el resultado se acerca a un determinado número 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + … = 1,6449341… que no es nada extraño, salvo que es precisamente la sexta parte del cuadrado de π, es decir 1,6449341… = π2/6, tal como lo descubrió Euler en el siglo XVII.

¿Qué misterio rodea a esta constante universal π de naturaleza tan simple, pero que aparece en las situaciones matemáticas más disímiles o diversas, atrayendo a muchos matemáticos de todas las épocas, desde la India y el resto del Oriente, hasta el mundo occidental? Tal vez no se llegue nunca a desentrañar ese misterio. Desde que Lambert presentó en 1761 en la Academia de Berlín la primera demostración de que π es un número irracional, se sabe que este número no se puede escribir como una fracción, es decir que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente y que nunca podrá expresarse en cifras su valor exacto.

Si se estima que con los once primeros decimales del valor de π (3,14159265358…), es posible calcular el valor de la circunferencia de la Tierra, con un error inferior a 1 centímetro, y que con los 40 primeros decimales puede calcularse el diámetro del universo, con un error inferior al diámetro de un átomo de Hidrógeno, pareciera que tanto esfuerzo por encontrar cada vez más decimales de π es solo una obsesión de los matemáticos. Sin embargo, esta búsqueda ha enriquecido muchos campos de las Matemáticas muy poco relacionado con los círculos y cuerpos redondos.

Por ejemplo, alguien podría preguntar, ¿qué tiene que ver el rio Amazonas con el número π? Aparentemente nada, pero Hans H. Stolum, geólogo de la Universidad de Cambridge, ha calculado la relación entre la longitud real de muchos ríos con los meandros y su longitud en línea recta, desde su origen hasta su desembocadura. Esta relación es variable de un río a otro, pero su promedio es un número ligeramente mayor que 3. Lo realmente curioso es que en ríos como el Amazonas, el Misisipi y los grandes ríos de Siberia, todos ellos de gran longitud y suave pendiente, está proporción es poco más de 3,14, sospechosamente parecida al número π.

Para conocer un interesante video sobre el número pi y sus historias puede verse el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=25Q7CW50264

Pi y el mundo de las abejas: Muchos científicos dicen que cuando el zángano insemina a la abeja reina, los huevos son fecundados de una manera selectiva. Esta forma de fecundar sus huevos responde a la “Sucesión de Fibonacci", de la siguiente manera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... siendo un número dado la suma de los dos anteriores. Esto hace que la proporción de machos y hembras siempre de un número pi. Si se divide el número de abejas hembras por el de machos de cualquier panal del mundo, siempre se obtendrá el mismo número, 3,14159265…

OM TAT SAT

¿Por qué es tan enigmático e importante el número π? Lean bien la nota.

El cálculo de π

π es la relación hecha al diámetro de la circunferencia respecto a su longitud.

No olvidar que se considera en función del radio.

Métodos del cálculo de π

Dígitos de π

Aproximaciones de π

Más dígitos de π

Dicen que...

Si se divide el número de abejas hembras por el de machos de cualquier panal del mundo, siempre se obtendrá el mismo número, 3,14159265…

Disputa entre los irracionales y los imaginarios.

12-El pollito dice "pi-o pi-o pi"

Imágenes de Prakash Paul Pookaai en facebook

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24 Hour Kirtan at Kirtan Fiesta festival with Pandava Sena in New Vrajamandala ISKCON farm in Spain. August 13, 2010…

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Kirtan Mela Mayapur 2013 Day 4 : HH Bhakti Vaibhav Swami

meropal

Publicado el 10 abr. 2013

Kirtan Mela Mayapur 2013 Day 4 : HH Bhakti Vaibhav Swami

Vaishnava Bhajans

Krishna Video

de Krishna Video22 vídeos13.128 visualizacionesLast updated on 19 jun. 2015

Collection of Vaishnava bhajans (songs) composed by Vaisnava acharya like Narottam Das Thakur, Bhaktivinod Thakur, Lochan Das Thakur, Sarvabhaum Bhattacharya, Vasudeva Ghosh, Srila Prabhupada and much more.... and sang beautifully by devotees.

Colección de bhajans (canciones) vaisnavas compuestas por acharyas vaisnavas como Narottam Das Thakur, Bhaktivinod Thakur, Lochan Das Thakur, Sarvabhaum Bhattacharya, Vasudeva Ghosh, Srila Prabhupada y muchos más... y cantadas maravillosamente por devotos.

Radha Krishna Maha Raas Leela

gaurav103g

Actualizado el 22 ago. 2008

Radha Krishna Bhajan Ramanand Sagar Krishna Serial Raas Leela Maha Raas

0240 KRISHNA STORY -- NAR NARAYAN AND BIRHT OF URVASHI

Actualizado el 13 feb. 2011

The story now is going towards the past when Nar and Narayan go in deep meditation in the Himalayas. Due to their piousness and deep meditation, the throne of Indra is in trouble. Indra wants to break the Samadhi or meditation of them. Hence, he sends his beautiful apsaras to attract towards them and break the meditation.

When the meditation is broken, Nar sees the apsaras, he creates one much beautiful and elegant from his thigh. This is how the most beautiful apasara of Lord Indra takes birth. He names her as Urvashi and tells them to take her as his gift to Indra and again goes in meditation.

The Nar and Narayan are the future Krishna and Arjun in their next rebirths.

See it presented nicely in "Krishna" serial by Ramanand Sagar

La historia se remonta al pasado cuando Nar y Narayan meditan profundamente en el Himalaya. Debido a su devoción y profunda meditación, el trono de Indra se ve amenazado. Indra quiere romper su samadhi o meditación. Por ello, envía sus hermosas apsaras para atraerlas e interrumpir la meditación.

Cuando la meditación se interrumpe, Nar ve las apsaras y crea una aún más hermosa y elegante de su muslo. Así nace la más hermosa apasara del Señor Indra. Él la nombra Urvashi y les dice que la lleven como regalo a Indra, y de nuevo medita.

Nar y Narayan representan a los futuros Krishna y Arjun en sus próximos renacimientos.

Véase su excelente presentación en la serie "Krishna" de Ramanand Sagar.

Radha Krishna Maha Raas Leela

gaurav103g

Shri Krishna Parte 30 por Ramanand Sagar
Rasleela con las Gopis de Shri Krishna

DANZA RASA

Tilak

Una experiencia única que conecta al devoto con Dios y al buscador con el conocimiento. Tilak presenta Divya Bhoomi, darshan sobrenatural de famosos lugares religiosos de la India. Peregrinación a lugares divinos y disfrute del Bhagwat Darshan completo.

Sant Gyaneshwar New

tseriesbhakti

Publicado el 05/04/2012

Watch Hindi Devotional Movie Sant Gyaneshwar only on T-Series Bhakti Sagar Channel

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